Question

（2013•牡丹江）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）

• A．10
• B．4

  30

• C．10或4

  30

• D．10或2

  165

Answer 1

分析：根据题意画出图形，由于AB和CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论．

解答：解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：
过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，
在Rt△AOE中，
OE=

OA2-AE2

=

132-122

=5，
∴OF=OE+EF=5+7=12，
在Rt△OCF中，CF=

OC2-OF2

=

132-122

=5，
∴CD=2CF=2×5=10；
当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：
过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，
在Rt△AOE中，
OE=

OA2-AE2

=

132-122

=5，
∴OF=EF-OE=7-5=2，
在Rt△OCF中，CF=

OC2-OF2

=

132-22

=

165

，
∴CD=2CF=2×

165

=2

165

．
故CD的长为10或2

165

．
故选D．

点评：本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．