Question

13．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入一次函数即可求出a的值，从而求出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数即可求出k的值．
（2）作出B关于x轴的对称点D，求出点D的坐标，然后求出直线AD的解析式，令y=0即可求出点P的坐标．
（3）由图形可知S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD，从而求出△ABD与△PBD的面积即可．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{3}{x}$，
（2）把B（3，b）代入上式子得，
∴点B坐标（3，1）；
作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，-1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=-2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=-2x+5
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，
∴点P坐标（$\frac{5}{2}$，0），
（3）S_△PAB=S△_ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=1.5．

点评 本题考查反比例函数与一次函数综合问题，解题的关键是根据条件求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于中等题型．