Question

1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，D点坐标为（2，0）．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧$\widehat{AC}$的长．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，即为⊙D的半径；过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数，利用弧长公式可得结果．

解答 解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，

∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；

（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，

则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2$\sqrt{5}$，
即⊙D的半径为2$\sqrt{5}$，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DE}\\{∠AOD=∠CDE}\\{OD=CE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
弧AC的长=$\frac{90}{180}$π×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$π．

点评 本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定和性质、扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键．