Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c（c≠0）的图象经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，AB∥x轴，且3AB=2OB．
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥x轴，A（-2，m），
∴AB=2，
又∵3AB=2OB，
∴OB=3，
∴点B的坐标为（0，-3）
∴m=-3；

（2）∵二次函数与y轴的交于点B，
∴c=-3，
又∵图象过点A（-2，-3），
∴-3=4-2b-3，
∴b=2，
∴二次函数解析式为y=x²+2x-3；

（3）当y=0时，有x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
由题意得C（-3，0），
若△POC为等腰三角形，则有：
①当PC=PO时，点P（-，-），
②当PO=CO时，点P（0，-3），
③当PC=CO时，设直线BC的函数解析式为y=kx+n，
则有，
解得，
∴直线BC的函数解析式为y=-x-3，
设点P（x，-x-3），
由PC=CO，
得[-（x+3）]²+[-（-x-3）]²=3²，
解得：x₁=-3+，x₂=-3-（不合题意，舍去），
∴P（-3+，-），
∴存在点P（-，-）或P（0，-3）或P（-3+，-），使△POC为等腰三角形．
分析：（1）由AB∥x轴，A（-2，m），可得AB=2，又由3AB=2OB，即可求得点B的坐标，则可求得m的值；
（2）由二次函数与y轴的交于点B，可求得c的值，又由图象过点A（-2，-3），将其代入函数解析式，即可求得b的值，则可得此二次函数解析式；
（3）由二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻），可得当y=0即可求得C的坐标，若△POC为等腰三角形，则可分别从①当PC=PO时，②当PO=CO时，③当PC=CO时去分析，即可求得满足条件的点P的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线的性质，函数与点的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．