Question

13．已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当AE与CD满足什么关系时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据O是CD的中点，可得DO=CO，再证明∠D=∠OCE，然后可利用ASA定理证明△AOD≌△EOC；
（2）欲四边形ACED是正方形，需要推知四边形ACED为平行四边形，利用“对角线相等且相互平分的平行四边形为正方形”得到AE⊥CD且AE=CD．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠OCE}\\{∠DAO=∠CEO}\\{DO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）当AE⊥CD且AE=CD时，四边形ACED是正方形．
证明：∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又∵OC=OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵AE⊥CD
∴?ACED是菱形．
∵AE=CD，
∴菱形ACED是正方形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握“对角线相等且相互平分的平行四边形为正方形”．