Question

如图，抛物线经过A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴正半轴交与点C，且AB=BC，点P为第一象限内抛物线上一动点（不与B、C重合），设点P的坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在BC上，且PD∥y轴，探索的值；
（3）设抛物线的对称轴为l，若以点P为圆心的⊙P与直线BC相切，请写出⊙P的半径R关于m函数关系式，并判断⊙P与直线l的位置关系．

Answer 1

解：（1）由AB=BC得C（0，6）．
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），则a=-．
故y=-（x+2）（x-8）=-x²+x+6；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，6）代入得，
解得．
故直线BC的解析式为y=-x+6．
所以PD=（-m²+m+6）-（-m+6）=m（8-m），CD=m，BD=（8-m）．所以=．

（3）R=PD=-m（8-m），对称轴l：x=3．
若⊙P与l右切，则-（m²-8m）=m-3，解得m₁=（舍），m₂=；
若⊙P与l左切，则-（m²-8m）=3-m，解得m₁=（舍），m₂=．
由于0＜m＜8，
所以，当0＜m＜或＜m＜8时，⊙P与直线l相离；
当m=或m=时，⊙P与直线l相切；
当＜m＜时，⊙P与直线l相交．
分析：（1）AB=BC得C（0，6），设抛物线的交点式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，再根据两点间的距离公式可求PD=（-m²+m+6）-（-m+6）=m（8-m），CD=m，BD=（8-m）．从而得到的值；
（3）R=PD=-m（8-m），对称轴l：x=3．分若⊙P与l右切；若⊙P与l左切，可求m的值；再分当0＜m＜或＜m＜8时；当m=或m=时；当＜m＜时；三种情况讨论可得⊙P与直线l的位置关系．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，切线的性质，直线与圆的位置关系，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．