Question

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y₁（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：
（1）用x的代数式表示t为：t＝      ；当0＜x≤4时， y₂与x的函数关系为y₂＝      ；当      ≤x＜      时，y₂＝100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

Answer 1

（1）6－x，5x＋80，4，6；（2）；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元.

解析试题分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6－x；根据平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系以及t=6－x即可求出y₂与x的函数关系：当0＜x≤4时，y₂=5x+80；当y₂=100时，，即，解得；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可.
试题解析：（1）6－x；5x＋80；4，6.
（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，；
②当2＜x≤4时，；
③当4＜x＜6时，.
综上所述，.
（3）当0＜x≤2时，，此时x=2时，w_最大=600；
当2＜x≤4时，，此时x=4时，w_最大=640；
当4＜x＜6时，，∴4＜x＜6时，w＜640.
综上所述，x=4时，w_最大=640.
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的性质；4.分类思想的应用.