Question

【题目】在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，写出OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，写出OE与OF的数量关系；位置关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE＝OF，OE⊥OF，见解析；（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．理由见解析.

【解析】

（1）根据利用正方形的性质得出∠BAC＝∠BCA、AO＝CO，再根据已知得出∠AEO＝∠AFO=90，从而得到△AEO≌△CFO即可；
（2）当P在线段OC上时，根据正方形得性质先证明PF＝FC，再证明四边形BEPF为矩形，得到BE＝PF，从而得到BE＝FC，再证明△OBE≌△OCF即可；
（3）当点P在AC的延长线上时，有相同的关系，其证明方法与（2）类似．

（1）解：由题意得：

∠BAC＝∠BCA＝45°，AO＝CO，

∠AEO＝∠AFO，

在△AEO和△CFO中

，

∴△AEO≌△CFO（AAS）

∴OE＝OF；

（2）解：OE＝OF，OE⊥OF；

证明：连接BO，

∵在正方形ABCD中，O为AC中点，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四边形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．

（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．

理由：连接BO，

∵在正方形ABCD中，O为AC中点，

∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，

∴∠OCF＝∠OBE

∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，

∴∠FPC＝45°，PF＝FC．

∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB＝∠PFB＝90°．

∴四边形PEBF是矩形，

∴BE＝PF．

∴BE＝FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，

∵∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠EOF＝90°．

∴OE⊥OF．