Question

探究与发现：如图（1）的图形，像我们日常所见的圆规，不妨把这样图形叫做“规形图”．这一简单图形，到底隐藏着哪些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX=

 

°；
②如图（3），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=139°，∠BG₁C=67°，求∠A的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）过点A、D作直线AD，由三角形外角的性质可知，∠1＞∠3，∠2＞∠4，故可得出结论；直接根据三角形外角的性质即可得出结论．
（2）①由∠A=30°，根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，而∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC-∠XBC+∠ACB-∠XCB=∠ABC+∠ACB-（∠XBC+∠XCB），即可得到∠ABX+∠ACX度数；②由①的方法，进而可得答案．

解答：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．
证明：∵由（1）可知，∠1是△ABD的外角，∠2是△ACD的外角，
∴∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C，
∴∠1+∠2=（∠3+∠4）+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C．

（2）①解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
又∵XYZ为直角三角板，即∠YXZ=90，°
∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC-∠XBC+∠ACB-∠XCB，
=∠ABC+∠ACB-（∠XBC+∠XCB），
=150°-90°，
=60°．

②解：如图，∠BG₁C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=67°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=139°-x°
∴

1

10

（139-x）+x=67，
13.9-

1

10

x+x=67，
x=59
∴∠A为59°．
故答案是：60，59°．

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．