Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx得 ，解得 ，

∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；

（2）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，如图1，

设点P（m，﹣m2+4m），

BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∵S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，

×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）=6，

整理得3m2﹣15m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴点P坐标为（5，﹣5）；

（3）解：∵抛物线的对称性为直线x=2，

而点C、B关于抛物线的对称轴对称，

∴C（3，3），

以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，

CM=MN，∠CMN=90°，易证得△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作辅助线，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，

∴CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，

CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，

易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD﹣BC=EM﹣BC=1，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上所述：△CMN的面积为： 或 或17或5．

【解析】本题是二次函数与几何的综合题目.此题目综合性比较强，解答此题的关键是结合图形做出辅助线.
（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）过P作PD⊥BH交BH于点D，设P点的坐标为，则BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，根据S△ABP+S四边形HAPD-S△BPD得到关于m的方程，解方程可得P的坐标；
（3）先利用抛物线的对称性得到C（3，3），下面分五种情况讨论：①以点M在直角顶点且M在x轴上方时；②以点M在直角顶点且M在x轴下方时；③以点N在直角顶点且N在y轴左侧时；④以点N在直角顶点且N在y轴右侧时；⑤以点C在直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形.