Question

如图，锐角△ABC中，AD，BE，CF是三条高，DM⊥BE于M，DN⊥CF于N
求证，△DMN∽△ABC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：根据题意易得DM∥AC，DN∥AB，再根据平行线的性质得到∠BDM=∠ACB，∠CDN=∠ABC，则利用平角和三角形内角和定理可得∠MDN=∠BAC，然后证明Rt△BDM∽Rt△ACD，Rt△CDN∽Rt△ABD，得到

DM

CD

=

BD

AC

①，

CD

AB

=

DN

BD

②，通过①×②得

DM

AB

=

DN

AC

，于是可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△DMN∽△ABC．

解答：证明：∵BE，CF是高，DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，
∴DM∥AC，DN∥AB，
∴∠BDM=∠ACB，∠CDN=∠ABC，
∴∠MDN=∠BAC，
∴Rt△BDM∽Rt△ACD，Rt△CDN∽Rt△ABD，
∴

DM

CD

=

BD

AC

①，

CD

AB

=

DN

BD

②，
①×②得

DM

AB

=

DN

AC

，
而∠MDN=∠BAC，
∴△DMN∽△ABC．

点评：本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．