Question

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．
（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的

1

3

？
（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）求出矩形的面积，即可得出关于t的方程，求出方程的解即可；
（2）当P在AB上时，分为AP=AE，AP=PE，AE=PE三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质得出即可；当P在BC上时，根据AP、AE、PE的长度大小得出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，
∴矩形ABCD的面积S=12cm×8cm=96cm²，
则

1

2

t×1×8=

1

3

×96，
解得：t=8，
即当P在AB上，t为8时，△APE的面积是矩形ABCD面积的

1

3

；

（2）如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8cm，CD=AB=12cm，∠C=∠D=∠ABC=90°，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE=6cm，
由勾股定理得：AE=BE=10cm，
分为两种情况：第一种情况：当P在AB上时，①如图1，当P和B重合时，AE=PE，此时△APE是等腰三角形，
此时t=12；
②如图2：

当AP=AE=10cm，此时△APE是等腰三角形，
此时t=10；
③如图3：

作AE的垂直平分线，交AE于M，交AB于P，此时AP=PE，△APE是等腰三角形，
则∠PAD=∠D=∠PMA=90°，AM=ME=

1

2

AE=5cm，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠APM=90°，
∴∠1=∠APM，
∴△APM∽△EAD，
∴

AP

AE

=

AM

DE

，
∴

AP

10

=

5

4

，
∴AP=12.5，
即t=12.5；
第二种情况：当P当P在BC上时，如图4：

∵AE=10cm，AP＞AB，PE＜PB，
∴AP＞12cm，PE＜10cm，
即此时AE、AP、PE不相等，
即P在BC上时，△APE不能为等腰三角形；
综合上述：整个运动过程中，t为12或10或12.5时，△APE为等腰三角形．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想，有一定的难度．