Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（0，3）（4，0），作直线l垂直AB，点P是直线l上的一个动点，作PC垂直x轴，垂足为C，连接AP，设点P的横坐标为a，在x轴上取点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：根据已知求出OA=3，OB=4，AB=5，画出符合条件的两个图形，①当P在x轴的上方时，证△AOB∽△PBA，得出比例式，求出AP即可；②当p在x轴的下方时，过P作PM⊥x轴于M，证△AOQ∽△BOA，得出比例式，求出AQ=

15

4

，即BP=AQ=

15

4

，证△AOB∽△BMP，得出比例式，求出PM和BM，即可得出答案．

解答：解：∵点A，B的坐标分别是（0，3）（4，0），
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5，
分为两种情况：①当P在x轴的上方时，如图1，

∵A、P、B、Q组成的四边形是平行四边形，
∴P点的纵坐标和A点的纵坐标相同，都是3，且AP∥x轴，
∴∠PAB=∠ABO，
∵∠ABP=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△PBA，
∴

AB

OB

=

AP

AB

，
∴

5

4

=

AP

5

，
∴AP=

25

4

，
即P的坐标为（

25

4

，3）；
②当p在x轴的下方时，如图2，过P作PM⊥x轴于M，

则∠AOB=∠PMB=∠ABP=90°，
∵∠ABP=90°，四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ=BP，∠QAB=90°，
∴∠AQO+∠QAO=90°，∠QAO+∠BAO=90°，
∴∠AQO=∠BAO，
∴△AOQ∽△BOA，
∴

AQ

AB

=

AO

OB

，
∴

AQ

5

=

3

4

，
∴AQ=

15

4

，
即BP=AQ=

15

4

，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠PBM=90°，
∴∠OAB=∠PBM，
∴△AOB∽△BMP，
∴

AB

BP

=

OA

BM

=

OB

PM

，
∴

5

15 4

=

3

BM

=

4

PM

．
∴BM=

9

4

，PM=3，
∴OM=4-

9

4

=

7

4

，
即P的坐标为（

7

4

，-3）．

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，用了分类讨论思想，有一定的难度．