Question

已知D、B、C是⊙O上三点
（1）如图1，若

CD

=

BC

，∠BCD=120°，求证：四边形OBCD是菱形；
（2）如图2，若

CD

=2

BC

，sin∠CDB=

1

3

，求tan∠DBC的值．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,菱形的判定,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图1，先证明△BOC和△DOC都是等边三角形得到OB=BC=CD=OD，然后根据菱形的判定得到结论；
（2）作直径CE，作BH⊥CE于H，连结OB、BE、DE，如图，利用圆周角定理得到∠DEC=2∠CDB，∠CBD=∠DEC，∠CDB=∠CEB，则∠CBD=2∠CEB，再利用三角形外角性质得∠COB=2∠CEB，所以∠CBD=∠COB，接着在Rt△BCE中，利用正弦的定义得sin∠CBE=sin∠CDB=

BC

CE

=

1

3

，设BC=x，则CE=3x，然后根据勾股定理计算出BE=2

2

x，则利用面积法可计算出BH=

2 2

3

x，再在Rt△OBH中，利用勾股定理计算出OH=

7

6

x，所以tan∠HOB=

BH

OH

=

4 2

7

，即有tan∠DBC=

4 2

7

．

解答：（1）证明：连结OC，如图1，

∵

CD

=

BC

，
∴∠BOC=∠DOC，
∵△BOC和△DOC都是等腰三角形，
∴∠BOC=∠DOC，
∵∠BCD=120°，
∴∠BOC=∠DOC=

1

2

∠BCD=60°，
∴△BOC和△DOC都是等边三角形，
∴OB=BC=CD=OD，
∴四边形OBCD是菱形；
（2）解：作直径CE，作BH⊥CE于H，连结OB、BE、DE，如图2，

∵

CD

=2

BC

，
∴∠DEC=2∠CDB，
∵∠CBD=∠DEC，∠CDB=∠CEB，
∴∠CBD=2∠CEB，
∵∠COB=2∠CEB，
∴∠CBD=∠COB，
∵CE为直径，
∴∠CBE=90°，
在Rt△BCE中，sin∠CBE=sin∠CDB=

BC

CE

=

1

3

，
设BC=x，则CE=3x，
∴BE=

CE2-BC2

=2

2

x，
∵

1

2

•BH•CE=

1

2

•BC•BE，
∴BH=

x•2 2 x

3x

=

2 2

3

x，
在Rt△OBH中，OH=

OB2-BH2

=

7

6

x，
∴tan∠HOB=

BH

OH

=

2 2 3 x

7 6 x

=

4 2

7

，
∴tan∠DBC=

4 2

7

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、圆周角定理和解直角三角形．