Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为斜边向外作等腰直角三角形，设所作的△ABD、△BCE、△ACF的面积分别为S₁、S₂、S₃，求证：S₁=S₂+S₃．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：在△AFC中，设FC=FA=a；在△BEC中，EC=EB=b；在△ABD中，AD=BD=c．利用三角形面积公式得到S₁=

1

2

c²；S₂=

1

2

b²；S₃=

1

2

a²．再根据AC²+BC²=AB²，得到a²+b²=c²，从而求出S₁=S₂+S₃．

解答：证明：在△AFC中，设FC=FA=a；在△BEC中，EC=EB=b；在△ABD中，AD=BD=c．
S₁=

1

2

c²；S₂=

1

2

b²；S₃=

1

2

a²．
∵AC²+BC²=AB²，
∴（2a）²+（2b）²=（2c）²，
∴4a²+4b²=4c²，
∴a²+b²=c²，
∴

1

2

a²+

1

2

b²=

1

2

c²，
S₁=S₂+S₃．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用是解题的关键．