Question

1．已知x²-3x+1=0，求下列各式的值：
 （1）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（2）$\frac{{x}^{6}+3{x}^{3}+1}{2{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 （1）利用方程先求出x+$\frac{1}{x}$=3，把x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$化为（x+$\frac{1}{x}$）²-2求解即可，
（2）把$\frac{{x}^{6}+3{x}^{3}+1}{2{x}^{3}}$化为$\frac{1}{2}$×[（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）+3求解即可

解答 解：∵x²-3x+1=0，
∴x-3+$\frac{1}{x}$=0，即x+$\frac{1}{x}$=3，
（1）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=7；
（2）$\frac{{x}^{6}+3{x}^{3}+1}{2{x}^{3}}$=$\frac{1}{2}$×（x³+3+$\frac{1}{{x}^{3}}$）=$\frac{1}{2}$×[（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）+3]=$\frac{1}{2}$×[3×6+3]=$\frac{21}{2}$．

点评 本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是正确求出x+$\frac{1}{x}$=3．