Question

11．已知与x轴夹角为60°的直线y=$\sqrt{3}$x+b（b＞0）与y轴交于点A，第一象限内的点B在该直线上，且AB=2，问：
①求A、B两点坐标（用含b的代数式表示）
②已知点C在x轴的正轴上，OC=2，E为OC中点，将直线y=$\sqrt{3}$x+b向下平移b个单位，A、B两点的对应点M、N与点C所围成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，点P是∠NMC的角平分线上任何一点，求PE+PC的最小值．

Answer 1

分析 ①对于直线解析式，令x=0表示出y，确定出A的坐标，过B作BF垂直于y轴，由直线与x轴夹角求出∠ABF度数，进而得到∠BAF为30°，在直角三角形ABF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BF的长，即为B横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，即可表示出B坐标；
②根据题意得到直线y=$\sqrt{3}$x+b向下平移b个单位，平移后解析式为y=$\sqrt{3}$x，此时M与O重合，由平移性质得到MN=AB=2，再由OC=2，且∠NMC=60°，得到三角形MNC为等边三角形，根据E为MC中点，利用三线合一得到NE垂直于MC，连接NE，交角平分线于点P，连接PC，此时PE+PC=PE+NP=NE最小，求出即可．

解答 解：①对于直线y=$\sqrt{3}$x+b，
令x=0，得到y=b，即A（0，b），
过B作BF⊥y轴，交y轴于点F，
∵∠ABF=60°，
∴在Rt△ABF中，AB=2，∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
把x=1代入y=$\sqrt{3}$x+b，得：y=$\sqrt{3}$+b，即B（1，$\sqrt{3}$+b）；
②如图所示，由平移性质得：MN（ON）=AB=OC=2，且∠NMC=60°，直线MN解析式为y=$\sqrt{3}$x，
∴△MNC为等边三角形，
∵E为MC中点，
∴NE⊥MC，
∴在Rt△MNE中，MN=2，ME=1，
根据勾股定理得：NE=$\sqrt{3}$
连接NE，与角平分线OP交于点P，连接CP，此时PE+PC最小，且PE+PC=NE=$\sqrt{3}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，平移的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称-线段最短问题，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．