Question

2．如图，已知A是双曲线y=$\frac{7}{x}$在第一象限的分支上一个动点，连接AO并延长另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断发生变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上运动，则k的值是-21．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（x，$\frac{7}{x}$），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，继而得出y与x的函数关系式．

解答 解：设A（x，$\frac{7}{x}$），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{7}{x}）^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3{x}^{2}+\frac{147}{{x}^{2}}}$，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（a，b），则tan∠AOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{7}{x}}{x}$=$\frac{a}{-b}$，
解得：b=-$\frac{{x}^{2}}{7}$a，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即b²+a²=3x²+$\frac{147}{{x}^{2}}$，
将b=-$\frac{{x}^{2}}{7}$a代入，可得：x²=$\frac{27}{{x}^{2}}$，
故x=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$，b=-$\frac{{a}^{2}}{3}$，a=-$\sqrt{3}$x，
则ab=-21，
故可得：y=-$\frac{21}{x}$（x＞0）．
故答案是：-21．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．