Question

14．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①BE+DF=EF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，
其中正确的序号是②③④．

Answer 1

分析 由正方形的性质得AB=AD，∠B=∠D=90°，由等边三角形的性质得AE=AF，则可判断Rt△ABE≌△ADF，得到BE=DF，∠BAE=∠DAF，加上∠EAF=60°，易得∠BAE=∠DAF=15°，利用互余得∠AEB=75°，则可对③进行判断；由于CB=CD，BE=DF，则CE=CF，于是可对②进行判断；先判断△CEF为等腰直角三角形得到CE=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，设正方形的边长为x，则AB=x，BE=x-$\sqrt{2}$，在Rt△ABE中利用勾股定理得x²+（x-$\sqrt{2}$）²=2²，解得x₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），则可计算出BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，于是可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BAE=∠DAF，
而∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，所以③正确，
∵CB=CD，
∴CB-BE=CD-DF，
即CE=CF，所以②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
设正方形的边长为x，则AB=x，BE=x-$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，∵AB²+BE²=AE²，
∴x²+（x-$\sqrt{2}$）²=2²，
整理得x²-$\sqrt{2}$x-1=0，解得x₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴BE+DF=2（x-$\sqrt{2}$）=2（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$≠2，所以①错误；
∴S_{正方形ABCD}=x²=（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）²=2+$\sqrt{3}$，所以④正确．
故答案为②③④．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．