Question

5．如图，AB为⊙O的直径，OC为⊙O的半径，AD⊥DC于D，AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC²=AD•AB；
（2）若∠DAB=60°，CD=4$\sqrt{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，AD⊥DC，得到∠ADC=∠ACB=90°，由于AC平分∠DAB，证得∠DAC=∠OAC，于是得到△ADC∽△ACB，则结论即可得出；
（2）连接BE，由∠DAB=60°，AC平分∠DAB，得到∠DAC=30°求出AC=2CD=8$\sqrt{3}$，AD=12，由（1）证得：AC²=AD•AB，于是求出AB=16，解直角三角形即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB；

（2）解：连接BE，
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=30°，∵CD=4$\sqrt{3}$，
∴AC=2CD=8$\sqrt{3}$，AD=12，
由（1）证得：AC²=AD•AB，
∴AB=16，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=8．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．