Question

17．如图，把一块边长为6的正方形纸片ABCD沿着PQ翻折，使顶点A恰好与CD边上的点E重合，若DE=2，则折痕PQ=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 连接AE，过点P作PH⊥BC于点H，由正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明△DAE≌△HPQ，所以PQ=AE，在直角三角形DEA中利用勾股定理可求出AE的长，进而得到PQ的长．

解答 解：连接AE，过点P作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=PH，∠D=∠PHQ=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵正方形纸片ABCD沿着PQ翻折，使顶点A恰好与CD边上的点E重合，
∴PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠QPA=90°，
∵∠QPA+∠HPQ=90°，
∴∠DAE=∠HPQ，
在△DAE和△HPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠PHQ=90°}\\{DA=HP}\\{∠DAE=∠HPQ}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△HPQ（ASA），
∴PQ=AE，
∵AD=6，DE=2，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查图形的翻折变换、正方形的性质以及勾股定理的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．