Question

【题目】如图，在正n边形（n为整数，且n≥4）绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为正n边形的“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．以下说法，正确的是 ． （填番号）
①在图1中，△AOB≌△AOD'；
②在图2中，正五边形的“叠弦角”的度数为360°；
③“叠弦三角形”不一定都是等边三角形； ④正n边形的“叠弦角”的度数为60°﹣ ．

Answer 1

【答案】①
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
由旋转的性质得，AD=AD′，∠D=∠D′=90°，
∴AB=AD′，
在Rt△ABO与Rt△AD′O中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AD′O，
故①正确；
②如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五边形ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，
∴∠EAP=∠E'AO，
在△APE与△AOE'中，
，
∴△APE≌△AOE′（ASA），
∴∠OAE′=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，
，
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB，
∴∠OAE'=∠OAB= （108°﹣60°）=24°，
故②错误；
③如图3，

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形，
故③错误．
④由图1中的多边形是四边形，图2中的多边形五边形，图3中的多边形是六边形，
∴图n中的多边形是正（n+3）边形，
同②的方法得，∠OAB=[（n+3﹣2）×180°÷（n+3）﹣60°]÷2=60°﹣ ，
故④错误．
故答案：①．