Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点．点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm ．当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动．设P， Q两点运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PQ∥BC ？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数解析式;

（3）四边形PQCB的面积与△APQ面积比能为3：2吗？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）y＝t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；理由见解析；（4）当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．

【解析】

（1）先在中，由勾股定理求出，再由，，得出，然后由，根据平行线分线段成比例定理得出，列出比例式，求解即可；

（2）根据，即可得出关于的函数关系式；

（3）根据题意知四边形面积是面积的，列出方程，解方程即可；

（4）为等腰三角形时，分三种情况讨论：①；②；③，每一种情况都可以列出关于的方程，解方程即可.

（1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，

∴AB＝10cm．

∵BP＝t，AQ＝2t，

∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．

∵PQ∥BC，

∴

∴

解得t＝；

（2）∵S四边形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝ACBC﹣APAQsinA

∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）2t

＝24﹣t（10﹣t）

＝t2﹣8t+24，

即y关于t的函数关系式为y＝t2﹣8t+24；

（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：

由题意，得t2﹣8t+24＝×24，

整理，得t2﹣10t+12＝0，

解得t1＝5﹣，t2＝5+（不合题意舍去）．

故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：

①如果AE＝AQ，那么10﹣2t＝2t，解得t＝；

②如果EA＝EQ，那么（10﹣2t）×＝t，解得t＝；

③如果QA＝QE，那么2t×＝5﹣t，解得t＝．

故t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．