Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx（m≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）过点B的直线l与y轴交于点C，且tan∠ACB=2，直接写出直线l的表达式；
（3）如果点P（x1 ， n）和点Q（x2 ， n）在函数y=mx2﹣4mx（m≠0）的图象上，PQ=2a且x1＞x2 ， 求x12+ax2﹣6a+2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当y=mx2﹣4mx=mx（x﹣4）=0时，x1=0，x2=4，

∵点A在点B的左侧，

∴A点坐标为（0，0），B点坐标为（4，0）．

抛物线对称轴为直线：x=﹣ =2

（2）解：设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．

当点C在y轴正半轴时，点C的坐标为（0，2），

将B（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b中，

，解得： ，

此时直线l的表达式为y=﹣ x+2；

当点C在y轴负半轴时，点C的坐标为（0，﹣2），

将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b中，

，解得： ，

此时直线l的表达式为y= x﹣2．

综上所述：直线l的表达式为y=﹣ x+2或y= x﹣2

（3）解：∵点P（x1，n）和点Q（x2，n）在函数y=mx2﹣4mx（m≠0）的图象上，

∴点P与点Q关于对称轴x=2对称．

∵PQ=2a，x1＞x2，

∴x1=2+a，x2=2﹣a，

∴x12+ax2﹣6a+2=（2+a）2+a（2﹣a）﹣6a+2=6．

【解析】（1）把y=0代入抛物线的解析式，解一元二次方程即可求出x的值，由点A在点B的左侧，从而得出A、A两点的坐标；（2）此题分两种情况：点C在在y轴负半轴时与点C在在y轴正半轴时，设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0），由tan∠ACB=2得出C点的坐标，将B、C两点的坐标分别代入y=kx+b得出方程组，解方程组得出k,b的值即可；（3）由P、Q两点的纵坐标及都在抛物线上知点P与点Q关于对称轴x=2对称，由PQ=2a，x1＞x2，得x1=2+a，x2=2﹣a，代入x12+ax2﹣6a+2即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．