Question

【题目】阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．
把数 1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”．
（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意得：an= （n为正整数）；
（2）解： 66是三角形数，理由如下：

当 =66时，解得：n=11或n=﹣12（舍去），

则66是第11个三角形数

（3）T= + + + +…+ = + + + +…+ =2（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ，

∵n为正整数，∴0＜ ＜1，

则T＜2

【解析】（1）列出部分an的值，根据an的变化找出规律an=,（n为正整数）；(2)66是三角形数，理由如下,结合（1）结论得=66解关于n的方程，即可得出n的值，从而得出结论；（3）将分数变形成两个分数相减的形式，求出T的值再与2进行比较即可。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数与式的规律的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握先从图形上寻找规律，然后验证规律，应用规律，即数形结合寻找规律．