Question

13．已知关于x的一元二次方程x²+ax+a-2=0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＞0，此题得证；
（2）根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=-a、x₁•x₂=a-2，结合$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．

解答 （1）证明：在方程x²+ax+a-2=0中，△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，
∵（a-2）²≥0，
∴△＞0，
故不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程x²+ax+a-2=0的两个实数根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，
∵$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$，
∴${（{x_1}-{x_2}）^2}=13$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}=13$，即a²-4（a-2）=13，
整理得：（a-2）²=9，
解得：a₁=5，a₂=-1．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．