Question

2．如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{5}{x}^{2}$+bx+c过点A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），这条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重合），射线PC绕点P逆时针旋转120°，得线段PE，作平行四边形PCDE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①若点P的横坐标为m，?PCDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
     ②连接OE，试求线段OE的最小值；
（3）点E在抛物线上时，试求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；
（2）①由条件可得四边形PCDE为菱形，由抛物线的解析式求出对称轴为x=3，得到C点坐标（3，0），在Rt△OBC中，利用正切函数的定义得出tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是∠OCB=30°，过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G，求出CP=$\frac{2\sqrt{3}（3-m）}{3}$=CD，PG=CQ=3-m，然后根据S_△PCDE=PC•PG即可求出S与m之间的函数关系式；②如图2中，延长CE交y轴于点H．首先证明∠OCH=60°，根据垂线段最短，当OE⊥OH时，OE最短，只要求出直线CE、OE是解析式解方程组即可解决问题．
（3）由（2）可知E（m，-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），把点E坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$，解方程即可．

解答 解：（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{5}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{6\sqrt{3}}{5}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$．

（2）①如图1中，作PQ⊥OC于Q，PG⊥CD于G．

∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=3，
∴OC=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°，
∵∠CPE=120°，PE∥CD，
∴∠PCD=60°，
∴∠DCO=90°，
∵四边形PEDC是平行四边形，PE=PC，
∴四边形PEDC是菱形，
∵直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），
∴PC=CD=2PQ=2（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），CQ=PG=3-m，
∴S=CD•PG=2（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）•（3-m）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m-3）²．

②如图2中，延长CE交y轴于点H．

由①可知，四边形PEDC是菱形，∠PCD=60°，
∴∠ECP=30°，
∴∠OCH=60°，
在Rt△OCH中，∵OC=3，∠OCH=60°，
∴OH=OC•tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴H（0，3$\sqrt{3}$），
∴直线CE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∴根据垂线段最短，当OE⊥OH时，OE最短，
∵过点O垂直OH的直线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∴OE的最小值=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

（3）由（2）可知E（m，-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），
把点E坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$，
得到-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$m+$\sqrt{3}$，
m=$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$（舍弃），
∴E（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{123}}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，正切函数的定义，菱形的判定与性质，三角形的面积，直角三角形的性质，综合性较强，有一定难度．根据垂线段最短得出OE的最小值是解决（2）②的关键，属于中考压轴题．