Question

我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=______；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是______
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁，B₂，…，B_n，以线段A_nB_n为边向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若这组抛物线中有一条经过D_n，求所有满足条件的正方形边长．

Answer 1

解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴，
解得，，
即当顶点坐标为（1，1）时，a=-1；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，，
解得，
则a与m之间的关系式是：a=-或am+1=0．
故答案是：-1；a=-或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax²+bx=a（x+）²-，
∴顶点坐标是（-，-）．
又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上，
∴k（-）=-．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y=x上，
∴可设A_n（n，n），点D_n所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．
由（1）（2）可得，点D_n所在的抛物线解析式为y=-x²+2x．
∵四边形A_nB_nC_nD_n是正方形，
∴点D_n的坐标是（2n，n），
∴-（2n）²+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴满足条件的正方形边长是3，6或9．
分析：（1）利用顶点坐标公式（-，）填空；
（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+）²-，则易求该抛物线的顶点坐标（-，-）；
然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；
（3）根据题意可设可设A_n（n，n），点D_n所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点D_n所在的抛物线解析式为y=-x²+2x．所以由正方形的性质推知点D_n的坐标是（2n，n），则把点D_n的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范围来求点A_n的坐标，即该正方形的边长．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质．解答（3）题时，要注意n的取值范围．