Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：

①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．

其中正确的个数是(　　)

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；
⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断．

如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．

∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，

∵∠AMB=∠EMN，

∴△AMB∽△NME，故①正确，

∴∠AEN=∠ABD=45°，

∴∠NAE=∠AEN=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，

在△ABE和△ADF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．

∵BC=CD，∴CE=CF，

假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，

如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，

∴AC⊥EF，OE=OF，

Rt△CEF中，OCEFx，

在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，

∴OE=BE．

∵AE=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，

∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，

∴1x，

∴x=2，

∴，故③不正确，

③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

则AF=AH，∠DAF=∠BAH．

∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．

∵∠ABE=∠ABH=90°，

∴H、B、E三点共线，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH(SAS)，

∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，

如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，

∵DF∥AB，∴，

∴AN=NEAFa，

∴AEANa，

∴BEa，

∴ECaBC，故⑤正确．

故选：C．