Question

4．已知△ABC中，∠ACB=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，且OD=OE=OF，FD交直线AC于M．
（1）如图1，若点O在△ABC内部，求证：AE+CM=AB；
（2）如图2，若点O在△ABC外部，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出AE，CM，B三条线段之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AO，OB，由△AOF≌△AOE得AF=AE，同理BF=BD，再根据△ODB≌△DCM得BD=CM，由AE+CM=AF+BF=AB得证．
（2）结论：AE-CM=AB，方法类似（1）略．

解答 （1）证明：如图1中，连接AO，OB．
∵OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
在RT△AOF和RT△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，同理BF=BD，
∵OF=OD，BD=BF，
∴BO⊥FD，
∴∠OBD+∠BDF=90°，
∵∠BDF=∠MDC，∠MDC+∠M=90°，
∴∠M=∠OBD，
∵∠ODC=∠DCE=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OE=OD，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
在△ODB和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠M}\\{∠ODB=∠DCM}\\{OD=DC}\end{array}\right.$
∴△ODB≌△DCM，
∴BD=CM，
∴AE+CM=AF+BF=AB．
（2）结论：AE-CM=AB，理由如下：
证明：如图2中，连接AO，OB．
∵OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
在RT△AOF和RT△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，同理BF=BD，
∵OF=OD，BD=BF，
∴BO⊥FD，
∴∠OBD+∠BDF=90°
∵∠BDF=∠MDC，∠MDC+∠CMD=90°，
∴∠CMD=∠OBD，
∵∠ODC=∠DCE=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OE=OD，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
在△ODB和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODB=∠CMD}\\{∠ODB=∠DCM}\\{OD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ODB≌△DCM，
∴BD=CM，
∴AE-CM=AF-BF=AB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．