Question

16．在△ABC中，AB=15，AC=20，∠B-∠C=90°，则线段BC的长度为7．

Answer 1

分析 作AD⊥CB交CB的延长线于D，先证明△ABD∽△CAD，得到AD、CD的关系，设CD=4x，由勾股定理表示出AC，求出x，再由勾股定理求出BD，即可得出结果．

解答 解：作AD⊥CB交CB的延长线于D，如图所示：
∵∠ABC-∠ACB=90°，又∠ABC-∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，又∠D=∠D=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，
设CD=4x，则AD=3x，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+16{x}^{2}}$=5x，
∴5x=20，
则x=4，
∴CD=16，AD=12，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴BC=BD-CD=16-9=7，
故答案为7．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用勾股定理是解题的关键．