【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是⊙F的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),D(2,0),求⊙F的半径;
(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)AG=AD+2CD.
【解析】
试题分析:(1)连接EF,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC,得到FE∥AC,根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°,证明结论;
(2)连接FD,设⊙F的半径为r,根据勾股定理列出方程,解方程即可;
(3)作FR⊥AD于R,得到四边形RCEF是矩形,得到EF=RC=RD+CD,根据垂径定理解答即可.
试题解析:(1)证明:连接EF,∵AE平分∠BAC,∴∠FAE=∠CAE,∵FA=FE,∴∠FAE=∠FEA,∴∠FEA=∠EAC,∴FE∥AC,∴∠FEB=∠C=90°,即BC是⊙F的切线;
(2)解:连接FD,设⊙F的半径为r,则r2=(r﹣1)2+22,解得,r=,即⊙F的半径为;
(3)解:AG=AD+2CD.
证明:作FR⊥AD于R,则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°,∴四边形RCEF是矩形,∴EF=RC=RD+CD,∵FR⊥AD,∴AR=RD,∴EF=RD+CD=AD+CD,∴AG=2FE=AD+2CD.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线 交x轴、y轴分别于点A、点B,将△AOB绕坐标原点逆时针旋转 得到△COD.直线CD交直线AB于点E,如图1.
图1
(1)求:直线CD的函数关系式.
(2)如图2,连接OE,过点O作 交直线CD于点F,如图2.
图2
① 求证: = .
② 求:点F的坐标.
(3)若点P是直线DC上一点,点Q是x轴上一点(点Q不与点O重合),当△DPQ和△DOC全等时,直接写出点P的坐标.
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【题目】一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连结CF,AB=a,BC=b,AC=c.
(1)请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理;
(2)请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理: .
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【题目】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积= ACBD,其中正确的结论有( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①③②
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【题目】如图,一艘海轮位于灯塔的北偏东方向,距离灯塔的处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔的南偏东方向上的处.此时,处与灯塔的距离约为 .(结果取整数,参考数据:)
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【题目】对于一次函数 ,下列结论错误的是( )
A.函数值随自变量增大而增大
B.函数图像与x 轴正方向成45°角
C.函数图像不经过第四象限
D.函数图像与x 轴交点坐标是(0,6)
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【题目】长城总长约6700010米,用科学计数法表示是( )(保留两个有效数字)
A.67×105米B.6.7×106米C.6.7×105米D.0.67×107米
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