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【题目】如图,在平面直角坐标系中,RtABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,F与y轴相交于另一点G.

(1)求证:BC是F的切线;

(2)若点A、D的坐标分别为A(0,﹣1),D(2,0),求F的半径;

(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)AG=AD+2CD.

【解析】

试题分析:(1)连接EF,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到FEA=EAC,得到FEAC,根据平行线的性质得到FEB=C=90°,证明结论;

(2)连接FD,设F的半径为r,根据勾股定理列出方程,解方程即可;

(3)作FRAD于R,得到四边形RCEF是矩形,得到EF=RC=RD+CD,根据垂径定理解答即可.

试题解析:(1)证明:连接EF,AE平分BAC,∴∠FAE=CAE,FA=FE,∴∠FAE=FEA,∴∠FEA=EAC,FEAC,∴∠FEB=C=90°,即BC是F的切线;

(2)解:连接FD,设F的半径为r,则r2=(r﹣1)2+22,解得,r=,即F的半径为

(3)解:AG=AD+2CD.

证明:作FRAD于R,则FRC=90°,又FEC=C=90°,四边形RCEF是矩形,EF=RC=RD+CD,FRAD,AR=RD,EF=RD+CD=AD+CD,AG=2FE=AD+2CD.

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图1
(1)求:直线CD的函数关系式.
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图2
① 求证: =
② 求:点F的坐标.
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