Question

8．如图，已知⊙O过边长为4的正方形ABCD顶点A、B．
（1）若⊙O与边CD相似．
①请用直尺和圆规作出⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
②求⊙O的半径；
（2）过点O作MN⊥AB，分别交AB、CD于点M、N，⊙O与边AD交于点E，与线段MN交于点F，连接EN、AF，当△DEN与△AFM相似时，画出图形，并在图形下方直接写出⊙O的半径长．
（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）

Answer 1

分析 （1）①如图1中，作线段AB的垂直平分线EF，交CD于F，连接AF，作线段AF的垂直平分线MN交EF于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求．②如图2中，设⊙O与AD、DC分别交于点E、F，FO的延长线交AB于M，设OA=x，则AM=2，FO=x，OM=4-x，在Rt△AMO中，根据OA²=OM²+AM²，列出方程求解即可．
（2）①如图3中，当△DEN∽△MFA时，设AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，由NM=4，得3a+r=4  ①在Rt△AOM中，由OA²=OM²+AM²，得2²+a²=r²  ②，解方程组即可解决问题．②如图4中，当⊙O与CD相切时，连接BN．只要证明△DEN∽△MAN，即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，作线段AB的垂直平分线EF，交CD于F，连接AF，作线段AF的垂直平分线MN交EF于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求．

②如图2中，设⊙O与AD、DC分别交于点E、F，FO的延长线交AB于M，设OA=x，则AM=2，FO=x，OM=4-x，

在Rt△AMO中，∠AMD=90°，OA²=OM²+AM²，
∴x²=2²+（4-x）²，解得x=2.5，
∴⊙O的半径为2.5．

（2）①如图3中，当△DEN∽△MFA时，

∵AM=DN，
∴△DEN≌△MFA，
∴FM=DE，AE=FN，设⊙O的半径为r，OM=a，
∵OA=OE，OG⊥AE，
∴AG=GE，
∵四边形AMOG是矩形，
∴AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，
∵NM=4，
∴3a+r=4  ①
在Rt△AOM中，∵OA²=OM²+AM²，
∴2²+a²=r²  ②，
由①②可得r=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$．

②如图4中，当⊙O与CD相切时，连接BN．

∵∠DEN+∠AEN=180°，∠ABN+∠AEN=180°，
∴∠DEN=∠ABN，
∵OM⊥AB，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴∠BAN=∠ABN=∠DEN，∵∠EDN=∠AMN，
∴△DEN∽△MAN，
由（1）可知此时⊙O的半径为2.5．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数，构建方程以及方程组解决问题，属于中考压轴题．