Question

16．如图，A、B两城市相距80km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 过点P作PM⊥AB，M是垂足．AM与BM就都可以根据三角函数用PPM表示出来．根据AB的长，得到一个关于PM的方程，解出PM的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．

解答 解：作PM⊥AB，

由题意得：AE∥PM∥BF，
∴∠APM=30°，∠BPM=45°，
∴PM=$\frac{AM}{tan∠APM}$=$\sqrt{3}$AM，BM=PM，
设BM=PM=x，则AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+x=80$
∴x=120-40$\sqrt{3}$≈50.72＞50，
∴这条高速公路不会穿越保护区．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．