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阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫作对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0．a≠1，N＞0），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为 $数学公式$ ，所以 $数学公式$ ．
（1）根据定义计算：
①log₃81=；　 ②log₃3=；
③log₃1=__；　 ④如果log_x16=4，那么x=______．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．用log_aM，log_aN的代数式分别表示log_aMN及 $数学公式$ ，并说明理由．

解：（1）①∵3⁴=81，
∴log₃81=4；
②∵3¹=3，
∴log₃3=1；
③∵3⁰=1，
∴log₃1=0；
④由题意得：x⁴=16，
x=±2；

（2）∵a^x=M，a^y=N，
∴log_aM=x，log_aN=y，
∵a^x•a^y=a^x+y=MN，
∴log_aMN=x+y=log_aM+log_aN，
∵a^x÷a^y=a^x-y= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =x-y=log_aM-log_aN．
分析：（1）根据题中给出的对数的运算的定义和法则计算即可；
（2）根据题中给出的对数运算法则总结即可得出下面两个式子的答案．
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，以及对数的计算，关键是同学们要看懂所给例子的计算方法，较好的考查了同学们的观察能力与理解能力．

练习册系列答案

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相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2-3=

，所以log2

=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=

；②log₃3=

；③log₃1=

；
④如果log_x16=4，那么x=

．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴log_aMN=x+y，
即log_aMN=log_aM+log_aN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=

（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）
log_a

（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴

a-1=1

a+b=3

，∴a=2，b=1
∴

-x4-x2+3

-x2+1

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

=x²+2+

-x2+1

这样，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+2与一个分式

-x2+1

的和．
解答：
（1）将分式

-x4-6x2+8

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明

-x4-6x2+8

-x2+1

的最小值为8．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下面材料，并解答后面的问题：

1．(

)

(

)(

)

；

1．(

-2)

(

+2)(

-2)

-2；

1．(

)

(

)(

)

．
（1）观察上面的等式，请直接写出

n+1

的结果

n+1

；
（2）计算（

n+1

）（

n+1

）=

，此时称

n+1

与

n+1

互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：

+…+

100

．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫作对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0．a≠1，N＞0），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2-3=

，所以log2

=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=

； ②log₃3=

；
③log₃1=

； ④如果log_x16=4，那么x=

±2

．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．用log_aM，log_aN的代数式分别表示log_aMN及loga

，并说明理由．

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科目：初中数学 来源：2012-2013学年山东省聊城地区八年级下学期期中考试数学试卷（带解析） 题型：解答题

阅读下面材料，并解答后面的问题：
；；
.
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果；
（2）计算= ，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：…+ 。