Question

13．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF=DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的一个黄金分割点．

Answer 1

分析 根据正方形的性质和勾股定理求出CH的长，求出$\frac{CH}{CD}$，根据黄金比的比值进行判断即可．

解答 证明：∵点E是BC的中点，
∴EC=1，
∴EF=DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CF=$\sqrt{5}$-1，
∵四边形CFGH是正方形，
∴CH=CF=$\sqrt{5}$-1，
∴$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点H是线段CD的一个黄金分割点．

点评 本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黄金比是解题的关键．