【题目】如图,AC是圆O的直径,AB、AD是圆O的弦,且AB=AD,连结BC、DC.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)延长AB、DC交于点E,若EC=5cm,BC=3cm,求四边形ABCD的面积.
【答案】
(1)证明:∵AC是圆O的直径,
∴∠ABC=∠D=90°,
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC
(2)由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC,
∴CD=BC=3,AD=AB,
∴DE=5+3=8,
∵∠EAD=∠ECB,∠D=∠EBC=90°,
∴△EAD∽△ECB,
∴ ,
∵BE= =4,
∴ ,
∴AD=6,
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2× ×3×6=18cm2
【解析】(1)由AC是圆O的直径,得到∠ABC=∠D=90°,根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论;(2)由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC,得到CD=BC=3,AD=AB,DE=5+3=8,通过△EAD∽△ECB,得到比例式 ,求得AD=6,即可得到结果.
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.
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【题目】如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是 ,则 的值是 .
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【题目】如图,点A是反比例函数y= (>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=﹣ 的图象于点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中C,D在x轴上,则平行四边形ABCD的面积为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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【题目】如图,AC是圆O的直径,AB、AD是圆O的弦,且AB=AD,连结BC、DC.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)延长AB、DC交于点E,若EC=5cm,BC=3cm,求四边形ABCD的面积.
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【题目】已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点,且AB=3cm,AC=3 cm,则∠BAC的度数为( )
A.15°
B.75°或15°
C.105°或15°
D.75°或105°
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.
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【题目】如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
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【题目】对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1 , y1)、P2(x2 , y2),称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直角距离,记作:d(P1 , P2).P0(2,﹣3)是一定点,Q(x,y)是直线y=kx+b上的一动点,称d(P0 , Q)的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离.若P(a,﹣3)到直线y=x+1的直角距离为6,则a= .
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【题目】已知购买1个足球和1个篮球共需130元,购买2个足球和1个篮球共需180元.
(1)求每个足球和每个篮球的售价;
(2)如果某校计划购买这两种球共54个,总费用不超过4000元,问最多可买多少个篮球?
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