Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=-3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使，求出此时点M的坐标；
（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OC=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
∴c=4，则抛物线解析式为y=ax²+bx+4．
∵AO=2OC，则AO=8，
∴点A的坐标为（-8，0）．
又∵抛物线对称轴为直线x=-3，
∴点B的坐标为（2，O）．
∴，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为．

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，设FG与y轴交于点H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴，即．
∴FH=4m，故FG=5m．
设直线BC的解析式为：y=kx+b₁，则，
解得．
∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）²+10
∵0≤m≤2，
∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5．
过M作MM₁⊥x轴于M₁，则△MM₁D∽△FED，
∴
∵，
∴．则．
∴，DM₁=7，则OM₁=6．
∴此时点M的坐标为．

（3）存在．理由如下：
∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
∴y_Q=6，
∴点Q坐标为（-4，6），
设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP为直角，则PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，
解得n=10，
此时点P的坐标为（0，10）．
若∠QBP为直角，则PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，
解得n=-2，
此时点P的坐标为（0，-2）．
若∠QPB为直角，则BQ²=BP²+PQ²，
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，
解得
此时点P的坐标为或．
综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为：
（O，10）或（0，-2）或或．
分析：（1）求出点C的坐标，则得出c=4．根据抛物线的性质求出点A，B的坐标．然后把已知坐标代入解析式求出函数表达式．
（2）证明△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB利用线段比求出FH，FG．然后设直线BC的解析为y=kx+b₁，求出解析式后可求出点G的坐标为（m，-2m+4），然后可求出S的函数解析式．做MN₁⊥x轴于M₁，证明△MM₁D∽△FED，利用线段比有关线段的值最后求出点M的坐标．
（3）依题意求出点Q的坐标，设P点坐标为（0，n）．在△BPQ中，分三种情况讨论点P的坐标．
点评：本题考查的是二次函数的综合运用．利用待定系数法以及结合二次函数图象求解，难度较大．