【题目】如图,顶点为(,-)的抛物线y=ax2+bx+c过点M(2,0).
(1)求抛线的表达式;
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合),点B是抛物线与y轴的交点,点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),点D是反比例函数y=(k>0)图象上一点,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,求k的值.
【答案】(1)y=(x-)2-(2)或
【解析】
(1)依题意可设抛物线方程为顶点式(a≠0),将点M(2,0)代入可得:,解得a=1.故抛物线的解析式为:;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为:.
则对称轴为x=,∴点A与点M(2,0)关于直线x=对称,∴A(-1,0).
令x=0,则y=﹣2,∴B(0,﹣2).
在直角△OAB中,OA=1,OB=2,则AB=.
设直线y=x+1与y轴交于点G,易求G(0,1),∴直角△AOG是等腰直角三角形,∴∠AGO=45°.
∵点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),而k>0,所以反比例函数(k>0)图象位于点一、三象限.
故点D只能在第一、三象限,因此符合条件的菱形只能有如下2种情况:
①此菱形以AB为边且AC也为边,如图1所示,过点D作DN⊥y轴于点N,在直角△BDN中,∵∠DBN=∠AGO=45°,∴DN=BN=,∴D(﹣,﹣﹣2),∵点D在反比例函数(k>0)图象上,∴k=﹣×(﹣﹣2)=;
②此菱形以AB为对角线,如图2,作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C,交反比例函数(k>0)的图象于点D.
再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F,BE⊥y轴,DE与BE相较于点E.
在直角△BDE中,同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°,∴BE=DE.
可设点D的坐标为(x,x﹣2).
∵BE2+DE2=BD2,∴BD=BE=x.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BD=x,∴在直角△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(x)2=(x+1)2+(x﹣2)2,解得x=,∴点D的坐标是(,).
∵点D在反比例函数(k>0)图象上,∴k=×=.
综上所述,k的值是或.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-5,1),B(-1,1),C(-4,3).
(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称,点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,请画出△A1B1C1并写出A1,B1,C1的坐标;
(2)若点P为平面内不与C重合的一点,△PAB与△ABC全等,请写出点P的坐标.
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【题目】如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
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【题目】如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:OA⊥OC;
(3)求证:AB+CD=AC.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上一个动点(不与原O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.
(1)求点B的坐标;
(2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小;如改变,请说明理由.
(3)连接OQ,当OQ∥AB时,求P点的坐标.
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【题目】数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形中,,求的度数.(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度数.(答案:或或)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形中,,求的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,的度数不同,得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中,设,当有三个不同的度数时,请你探索的取值范围.
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【题目】探究:
Ⅰ直线与x轴夹成的锐角为______度;直线与x轴夹成的锐角为______度;直线与x轴夹成的锐角为______度;
Ⅱ设直线与x轴夹成的锐角为,试用的三角函数表示k,并给予证明.
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【题目】某学校举行一场知识竞赛活动,竞赛共有4小题,每小题5分,答对给5分,答错或不答给0分,在该学校随机抽取若干同学参加比赛,成绩被制成不完整的统计表如下.
成绩 | 人数频数 | 百分比频率 |
0 | ||
5 | ||
10 | 5 | |
15 | ||
20 | 5 |
根据表中已有的信息,下列结论正确的是
A. 共有40名同学参加知识竞赛
B. 抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分
C. 已知该校共有800名学生,若都参加竞赛,得0分的估计有100人
D. 抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分
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