Question

【题目】已知抛物线y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋4的顶点P在一条定直线l上．

（1）直接写出直线l的解析式；

（2）若存在唯一的实数m，使抛物线经过原点．

①求此时的a和m的值；

②抛物线的对称轴与x轴交于点A，B为抛物线上一动点，以OA、OB为边作□OACB，若点C在抛物线上，求B的坐标．

（3）抛物线与直线l的另一个交点Q，若a＝1，直接写出△OPQ的面积的值或取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+4（2）①m=-4；②B（-2，-3）（3）

【解析】试题分析：（1）利用配方法求出顶点坐标，即可解决问题．

（2）①抛物线经过原点，所以x=0时，y=0，得am2+2m+4=0，因为实数m唯一，所以△=0，得到4﹣16a=0，可得a=，m=﹣4．

②如图1中，根据平行四边形的性质，可知点B的横坐标为﹣2，由此可以求出点B坐标．

（3）如图2中，直线y=2x+4与x轴交于点B（﹣2，0），交y轴于点A（0，4），作OM⊥AB于M．由OAOB=ABOM，求出OM，利用方程组，可得P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），求出PQ的长即可解决问题．

试题解析：解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m+4=a（x﹣m）2+2m+4，∴顶点P坐标为（m，2m+4），∴顶点P在直线y=2x+4上．

（2）①∵抛物线经过原点，∴x=0时，y=0，∴am2+2m+4=0，∵实数m唯一，∴△=0，∴4﹣16a=0，∴a=，m=﹣4．

②如图1中，∵四边形OACB是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC=4，∵BC∥x轴，A（﹣4，0），根据对称性可知，B、C关于对称轴对称，∴点B的横坐标为﹣2，y=（x+4）2﹣4，∴x=﹣2时，y=﹣3，∴点B坐标为（﹣2，﹣3）．

（3）如图2中，∵直线y=2x+4与x轴交于点B（﹣2，0），交y轴于点A（0，4），作OM⊥AB于M，∴OB=2，OA=4，∴AB==．∵OAOB=ABOM，∴OM=/span>．∵a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2mx+m2+2m+4，由，消去y得x2﹣（2m+2）x+m（m+2）=0，解得x=m或m=2，∴或，∴P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），∴PQ==，∴S△POQ=PQOM=××=．