Question

如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，DE⊥BC于E，使得△BED≌△ACB（点B、E、D分别与点A、C、B对应），连结AD交BC于点F，
（1）问：△ABD是等腰直角三角形吗？请说明理由．
（2）若AC=2cm，EC=3cm，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）首先根据全等三角形的性质证明∠ABC=∠BDE，∠C=∠DEB=90°，DB=AB，然后再证明∠ABC+∠DBC=90°即可；
（2）首先在直角三角形ACB中利用勾股定理计算出AB的长，再在直角三角形BDA中计算出AD的长．

解答：解：（1）△ABD是等腰直角三角形；
∵△BED≌△ACB，
∴∠ABC=∠BDE，∠C=∠DEB=90°，DB=AB，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠DBC=90°，
又∵DB=AB，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）∵△BED≌△ACB，
∴EB=AC=2cm，
∴BC=BE+EC=2+3=5（cm），
在Rt△BCA中，AB=

22+52

=

29

cm，
∴DB=

29

cm，
∴AD=

58

cm．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．