Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HGHB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DF⊥AC，△ABC为Rt△，

∴∠CDE=∠EBF=90°

∵∠CED=∠FEB，

∴∠DCE=∠EFB，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF，（ASA）

（2）解：结论：BD与⊙O相切．

理由：连接OB，

∵DF是AB的中垂线，∠ABC=90°，

∴DB=DC=DA，

∴∠DBC=∠C．

由（1）∠DCB=∠EFB，而∠EFB=∠OBF，

∴∠DBC=∠OBF，

∴∠DBO=∠DBC+∠EBO=∠OBF+∠EBO=90°，

∴DB⊥OB，

∴BD与⊙O相切

（3）解：连接EH，

∵BH是∠EBF的平分线，

∴∠EBH=∠HBF=45°．∠HFE=∠HBE=45°．

又∠GHF=∠FHB，

∴△GHF∽△FHB，

∴ = ，

∴HGHB=HF2，

∵⊙O是Rt△BEF的内接圆，

∴EF为⊙O的直径，

∴∠EHF=90°，

又∠HFE=45°，

∴EH=HF，

∴EF2=EH2+HF2=2HF2，

在Rt△ABC中，AB=1，tan∠C= ，

∴BC=2，AC= ，

由（1）知△ABC≌△EBF，

∴EF=AC= ，

∴2HF2=EF2=5，

∴HF2= ，

故HGHB=HF2=

【解析】（1）根据ASA或AAS即可证明；（2）结论：BD与⊙O相切． 连接OB，只要证明OB⊥BD即可；（3）连接EH，首先证明△GHF∽△FHB，可得 = ，即HGHB=HF2 ， 想办法求出HF2即可解决问题．