Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过圆外一点E作EF与⊙O相切于G，交AB的延长线于F，EC⊥AB于H，交⊙O于D，C两点，连接AG交DC于K．

（1）求证：EG＝EK；

（2）连接AC，若AC∥EF，cosC＝，AK＝，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OG．根据切线的性质得到∠OGE＝90°，证明∠EKG＝∠AGE，根据等腰三角形的判定定理证明结论；

（2）连接OC，设CH＝4k，根据余弦的定义、勾股定理用k表示出AC、AH，根据勾股定理列式求出k，设⊙O半径为R，根据勾股定理列式求出R，根据余弦的定义求出OF，计算即可．

解：连接OG．

∵EF是⊙O的切线，

∴∠OGE＝90°，即∠OGA+∠AGE＝90°．

∵OA＝OG，

∴∠OGA＝∠OAG，

∴∠OAG+∠AGE＝90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AHK＝90°，则∠OAG+∠AKH＝90°．

∴∠AKH＝∠AGE．

∵∠AKH＝∠EKG，

∴∠EKG＝∠AGE，

∴EG＝EK；

（2）如图，连接OC，

设CH＝4k，

∵cos∠ACH＝，

∴AC＝5k，

由勾股定理得，AH＝＝3k，

∵AC∥EF，

∴∠CAK＝∠EGA，

又∠AKC＝∠EKG，而由（1）知∠EKG＝∠EGA，

∴∠CAK＝∠CKA，

∴CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．

在Rt△AHK中，AH2+HK2＝AK2，即（3k）2+k2＝（）2，

解得，k＝1，

则CH＝4，AC＝5，AH＝3，

设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，

解得，R＝，

由AC∥EF知，∠CAH＝∠F，则∠ACH＝∠GOF，

在Rt△OGF中，cos∠ACH＝cos∠GOF＝，

解得，OF＝，

∴BF＝OF﹣OB＝．