Question

3．如图，以Rt△OAB的斜边AB为边作正方形ABCD，CE⊥OB交OB延长线于E，对角线AC，BD交于点M，连OM．
（1）求证：△OAM≌△EBM；
（2）求证：$\frac{AC}{OE}$=$\frac{AB}{OM}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，AM=BM，AC⊥BD，由AAS证明△AOB≌△BEC，得出OA=EB，证出∠OAM=∠EBM，由SAS证明△OAM≌△EBM即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AMO=∠BME，MO=ME，证明△ABC∽△OME，得出对应边成比例$\frac{AC}{OE}$=$\frac{AB}{OM}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AM=BM，AC⊥BD，
∴∠ABO+∠CBE=90°，∠AMB=90°，
∵CE⊥OB，
∴∠BEC=90°=∠AOB，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
在△AOB和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BEC}&{\;}\\{∠ABO=∠BCE}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA=EB，
∵∠OAM+∠OBM=360°-90°-90°=180°，∠EBM+∠OBM=180°，
∴∠OAM=∠EBM，
在△OAM和△EBM中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=EB}&{\;}\\{∠OAM=∠EBM}&{\;}\\{AM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△EBM（SAS）；
（2）证明：∵△OAM≌△EBM，
∴∠AMO=∠BME，MO=ME，
∴∠OME=∠AMB=90°，
∴∠MOE=∠MEO=45°，
又∵∠BAC=∠BCA=45°，
∴△ABC∽△OME，
∴$\frac{AC}{OE}$=$\frac{AB}{OM}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度．