Question

13．如图，在Rt△ACB内作边长依次为m、n、p（m＞n＞p）的三个正方形，设BC=a，AC=b．
（1）用a、b分别表示m、n、p；
（2）探讨m、n、p之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由四边形CDEF是正方形，即可得CD=CF=DE=EF=m，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，又由BC=a，AC=b，即可求得m的值，同理求得n，p的值；
（2）根据△EGH∽△HJK，得到比例式$\frac{EG}{HJ}=\frac{GH}{JK}$，代入m，n，p即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形CDEF是正方形，
则CD=CF=DE=EF=m，DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{m}{a}$=$\frac{b-m}{b}$，
∴m=$\frac{ab}{a+b}$，
同理：n=$\frac{{a}^{2}b}{（a+b）^{2}}$，
p=$\frac{{a}^{3}b}{（a+b）^{3}}$，

（2）∵GH∥JK∥BC，
∴∠GEH=∠JHK=∠B，
∵∠EGH=∠HJK=90°，
∴△EGH∽△HJK，
∴$\frac{EG}{HJ}=\frac{GH}{JK}$，
即$\frac{m-n}{n-p}$=$\frac{n}{p}$，
∴n²=pm．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例找出后面正方形的边长与第一个正方形的边长的关系．