Question

小提示：你知道吗？一元二次方程：ax²+bx+c=0的两根满足：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

已知：⊙T与坐标轴有四个不同的交点M、P、N、Q，其中P是直线y=kx-1与y轴的交点，点Q与点P关于原点对称．抛物线y=ax²+bx+c经过点M、P、N，其顶点为H．
（1）求Q点的坐标；
（2）指出圆心T一定在哪一条直线上运动；
（3）当点H在直线y=kx-1上，且⊙T的半径等于圆心T到原点距离的

2

倍时，你能确定k的值吗？若能，请求出k的值；若不能，请说明理由．（图只供分析参考用）

Answer 1

分析：（1）作出图形，由于两坐标轴互相垂直，MN为⊙T的直径，QP为⊙T的弦，则根据垂径定理，可知点Q和点P关于x轴对称，求出P点坐标即可推知Q点坐标；
（2）根据垂径定理，圆心必在x轴上运动；
（3）利用根与系数的关系和相交弦定理求出a的值，再根据Rt_△IPH为等腰三角形，求出H的坐标表达式，将a、c的值代入坐标即可求出H的值．

解答：解：（1）y=kx-1交y轴于（0，-1）点，
∴P点的坐杯为（0，-1），
由Q与P关于原点对称，
∴Q点的坐标为（0，1）．
答：Q点的坐标为（0，1）．

（2）∵P、Q关于x轴对称，
根据垂径定理得：圆心T在X轴上，
得：圆心T一定在x轴直线上运动．
y=ax²+bx+c过点P（0，-1），
当x=0时，y=c=-1，
∴c=-1．

（3）连接IP、MP、IH，
设y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为：M（x₁，0），N（x₂，0），（x₂＞x₁）．
则x₁+x₂=-

b

a

，
x₁•x₂=-a．
由题意，∵MN为⊙I直径，OP⊥MN，
∴OP²=OM•ON，
即-x₁•x₂=+1，
∴-ca=1．
又∵c=-1，
∴a=1．
又∵⊙I直径MN=αIP，且x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-1，
而MN=x₂-x₁=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+4，
∴IP=b²+2．
又∵PH切⊙I于点P，IP⊥PH．
∵Rt_△IPH为等腰三角形，
∴IP=PH．
∴Rt_△IPH为等腰直角三角形．
则IP=2IP．
又H坐标为（-b²a，4ac-b²4a），
a=1，c=1代入得H（-b²，-4-b²4），
∴IH=|yh|=b²+4=2•b²+4²，
∴b²=4，
∴b=±2．
∴H点坐标为（-1，-2）求（1，-2）．
由y=kx-1过（-1，-2），得k₁=1；
由y=kx-1过（1，2），得k₁=-1．
∴k的值为1或-1．

点评：此题考查了二次函数和圆的关系，要根据圆的性质和二次函数的性质及根与系数的关系解题，要充分发掘各个图形之间的联系．