【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<8a;④;⑤b<c.其中含所有正确结论的选项是_____.
【答案】①③④
【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:①由抛物线开口向上,则a>0
∵对称轴为x=1
∴
∴可得b<0,
∵抛物线与y轴的交点B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之间
∴-2<c<-1<0,
∴abc>0,①是正确的;
②由点A(-1,0)和对称轴直线x=1可知:
抛物线与x轴另一个交点为(3,0)
∴当x=2时,y=4a+2b+c<0,因此②不正确,
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在(0,-1)的下方,对称轴在y轴右侧,a>0,
∴最小值:
∴,因此③正确;
④∵图象与x轴交于点A(-1,0)和(3,0),
∴ax2+bx+c=0的两根为-1和3,
∴根据一元二次方程根于系数关系可得:,
∴c=-3a,
∴-2<-3a<-1,
∴<a<;故④正确;
⑤抛物线过(-1,0)
∴a-b+c=0,
即,b=a+c,
又∵a>0,且
∴
∴
∴
又∵b<0,c<0
∴b>c,因此⑤不正确;
故答案为:①③④
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
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【题目】某竹制品加工厂根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测,并建立如下模型:设第t个月,竹制品销售量为P(单位:箱),P与t之间存在如图所示函数关系,其图象是线段AB(不含点A)和线段BC的组合.设第t个月销售每箱的毛利润为Q(百元),且Q与t满足如下关系Q=2t+8(0≤t≤24).
(1)求P与t的函数关系式(6≤t≤24).
(2)该厂在第几个月能够获得最大毛利润?最大毛利润是多少?
(3)经调查发现,当月毛利润不低于40000且不高于43200元时,该月产品原材料供给和市场售最和谐,此时称这个月为“和谐月”,那么,在未来两年中第几个月为和谐月?
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【题目】某店因为经营不善欠下68400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量(件)与销售价(元件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含债务).
(1)求日销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系式;
(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收入=支出),求该店员工的人数;
(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?
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【题目】正方形的边长为,点分别是线段上的动点,连接并延长,交边于,过作,垂足为,交边于点.
(1)如图1,若点与点重合,求证:;
(2)如图2,若点从点出发,以的速度沿向点运动,同时点从点出发,以的速度沿向点运动,运动时间为.
①设,求关于的函数表达式;
②当时,连接,求的长.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于F点.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)当BF=5,时,求BD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点,点P为抛物线的顶点(m为整数),当点P在正方形OABC内部或边上时,抛物线下方(包括边界)的整点最少有( )
A.3个B.5个C.10个D.15个
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.AC=8cm,BD=6cm,点P为AC上一动点,点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动.设运动时间为ts,当t=_____s时,△PAB为等腰三角形.
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