Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）PD=﹣（m﹣2）2+，，PD有最大值，最大值为．

【解析】

（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）先求出C、P的坐标，由此得到线段CP的长度，根据平行线的性质得，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．

（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，

∴B（4，0），C（0，4），

∴OB＝OC=4，

∴OA＝OB＝2，

即A（﹣2，0），

把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4中，得

，解得，

抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）过P作PF∥y轴，交BC于F，

在Rt△OBC中，∵OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，

∴∠PFD=45°，

∴PD=PF，

由P(m，﹣m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣m2+2m，

∴PD=（﹣m2+2m）

=﹣（m﹣2）2+，其中，0＜m＜4，

∵﹣＜0，

∴当m＝2时，PD有最大值，最大值为．