Question

【题目】如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH 周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）△FGH周长最大值为：.

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据抛物线的解析式可得对称轴的方程，即可求出点D的坐标，利用待定系数法可得直线AD的解析式，即可求出点E的坐标，得△OAE是等腰直角三角形，由FH 平行于 x 轴可得△FGH为等腰直角三角形过点 F 作 FM⊥x 轴交 AD 于 M，可得△FMH是等腰直角三角形，即可得出△FGH的周长等于△FGM的周长，配方可求出FM的最大值，即可得出△FGM周长的最大值，进而可得答案．

（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y＝﹣x2+bx+c ，得：

－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，

即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.

（2）∵y＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线对称轴为直线 x＝1，点 D 和点 C 关于直线x＝1对称，

∴D（2，3），

设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b，

把 A（﹣1，0），D（2，3）代入得：

，解得，

∴直线AD的解析式为：y＝x+1；

∴E（0，1），

∵OA＝OE，

∴△OAE 为等腰直角三角形，

∴∠EAO＝45°，

∵FH∥OA，△FGH 为等腰直角三角形，

过点 F 作 FM⊥x 轴交 AD 于 M，如图，

可得FM=FH，

∵FG＝GH＝FH=FM，

∴C△FGH＝（1+）FM，

设F(m，﹣m2+2m+3)，则M(m，m+1)，FM=﹣m2+m+2

∴C△FGH＝（1+）FM，

=（1+）（﹣m2+m+2）

=﹣（1+）

∴当 x＝时，△FGH周长由最大值，最大值为：.