【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣4与抛物线y=+bx+c交于坐标轴上两点A、C,抛物线与x轴另一交点为点B;
(1)求抛物线解析式;
(2)若动点D在直线AC下方的抛物线上;
①作直线BD,交线段AC于点E,交y轴于点F,连接AD;求△ADE与△CEF面积差的最大值,及此时点D的坐标;
②如图2,作DM⊥直线AC,垂足为点M,是否存在点D,使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=;
(2)①当m=时,S△ADE﹣S△CEF的最大值为,此时点D坐标为(,);
②存在,点D的横坐标为点D横坐标为或.
【解析】
(1)先求出C(0,﹣4)A(3,0),然后代入y=+bx+c,从而求出抛物线解析式;
(2)①设D(m,),则tan∠ABD=,然后用m的代数式表示△ADE与△CEF面积差,利用二次函数最值求出最大值;
②作∠ACO的平分线CP交x轴于点P,过P作PH⊥AC于点H.求出tan∠PCH=,然后分两种情况讨论:Ⅰ.当∠MCD=∠ACO=∠PCH时,Ⅱ.当∠MDC=∠ACO=∠PCH时.
(1)对于y=x﹣4,令x=0,则y=﹣4所以C(0,﹣4);
令y=0,则x=3,
∴A(3,0);
把点A、C坐标代入抛物线解析式,
得:解得,
∴抛物线解析式为y=;
(2)设D(m,),0<m<3
①连接OD,因为B(﹣1,0),D(m,)
tan∠ABD=,
∴OF=﹣(m﹣3),
又OA=3,OC=4,
∴S△ADE﹣S△CEF=S四边形AOFD﹣S△AOC=AO|yD|+OF|xD|﹣OAOC
=[3(﹣m2+m+4)﹣(m﹣3)m﹣3×4]
=﹣m2+6m
=﹣(m﹣)2+,
所以当m=时,S△ADE﹣S△CEF的最大值为,此时点D坐标为;
②存在,点D的横坐标为点D横坐标为或.
作∠ACO的平分线CP交x轴于点P,过P作PH⊥AC于点H.
则CH=CO=4,OP=PH,
设OP=PH=x,则PA=3﹣x,
∵OC=4,OA=3,
∴AC=5,AH=1,
在Rt△PHA中,
PH2+AH2=AP2,
即/span>x2+12=(3﹣x)2,
解得x=,
∴tan∠PCH=,
过点D作DG⊥x轴于点G,过点M作ME∥x轴,与y轴交于点E,与DG交于点F.
设M(m,),则ME=m,FG=OE=,CE=,
∵DM⊥直线AC,
∴△CEM∽△MFD,
∴,
Ⅰ.当∠MCD=∠ACO=∠PCH时,
tan∠MCD=tan∠PCH=,
∴,即,
∴,
∴MF=CE=,DF=ME=,
∴EF=EM+MF=m+=,DG=DF+FG=m+()=﹣m+4,
∴D(,m﹣4),
将点D坐标代入y=,
m﹣4=,
解得m=0(舍去)或m=
Ⅱ.当∠MDC=∠ACO=∠PCH时,
tan∠MDC=tan∠PCH=,
即,
∴,
MF=4m,DF=3m,
∴EF=EM+MF=m+4m=5m,
DG=DF+FG=3m﹣,
∴D(5m, ),
将点D坐标代入y=,
,
解得x=0(舍去)或x=;
综上,点D横坐标为或.
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【题目】某市精准扶贫工作已经进入攻坚阶段,贫困的张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了大樱桃.今年正式上市销售,在销售30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,在一段时间内采取降价措施,每天比前一天多卖出4千克.当售价不变时,销售量也不发生变化.已知种植销售大樱桃的成本为18元/千克,设第天的销售价元/千克,与函数关系如下表:
表一
天数 | 1 | 2 | 3 | …… | …… | 20 |
售价(元/千克) | 37.5 | 37 | 36.5 | …… | …… | 28 |
表二
天数 | 21 | 22 | …… | …… | 30 |
售价(元/千克) | 28 | 28 | …… | …… | 28 |
(1)求与函数解析式;
(2)求销售大樱桃第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
(3)销售大樱桃的30天中,当天利润不低于
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【题目】甲、乙两名同学分别进行6次射击训练,训练成绩(单位:环)如下表
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六交 | |
甲 | 9 | 8 | 6 | 7 | 8 | 10 |
乙 | 8 | 7 | 9 | 7 | 8 | 8 |
对他们的训练成绩作如下分析,其中说法正确的是( )
A. 他们训练成绩的平均数相同 B. 他们训练成绩的中位数不同
C. 他们训练成绩的众数不同 D. 他们训练成绩的方差不同
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【题目】如图,是的直径,是上半圆的弦,过点作的切线交的延长线于点,过点作切线的垂线,垂足为,且与交于点,设,的度数分别是.
用含的代数式表示,并直接写出的取值范围;
连接与交于点,当点是的中点时,求的值.
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【题目】如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)求点B的坐标;
(3)求△OAP的面积.
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【题目】寒假中,小王向小李借一本数学培优资料,但相互找不到对方的家,电话中两人商量,走两家之间长度为2400米的一条路,相向而行.小李在小王出发5分钟后带上数学培优资料出发.在整个行走过程中,两人均保持各自的速度匀速行走.两人相距的路程y(单位:米)与小王出发的时间x(单位:分)之间的关系如图所示,则两人相遇时,小李走了_____米.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C,到达点C时停止运动,过点P作PQ⊥AC于点Q. 若△APQ的面积为y,AQ的长为x,则下列能反映y与x之间的大致图象是 ( )
A.B.C.D.
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【题目】“构造图形解题”,它的应用十分广泛,特别是有些技巧性很强的题目,如果不能发现题目中所隐含的几何意义,而用通常的代数方法去思考,经常让我们手足无措,难以下手,这时,如果能转换思维,发现题目中隐含的几何条件,通过构造适合的几何图形,将会得到事半功倍的效果,下面介绍两则实例:
实例一:1876年,美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理:由四边形得,化简得:.
实例二:欧几里得的《几何原本》记载,关于的方程的图解法是:画,使,,,再在斜边上截取,则的长就是该方程的一个正根(如实例二图).
根据以上阅读材料回答下面的问题:
(1)如图1,请利用图形中面积的等量关系,写出甲图要证明的数学公式是 ,乙图要证明的数学公式是 ,体现的数学思想是 ;
(2)如图2,按照实例二的方式构造,连接,请用含字母、的代数式表示的长,的表达式能和已学的什么知识相联系;
(3)如图3,已知,为直径,点为圆上一点,过点作于点,连接,设,,求证:.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中,画出△AB′C′;
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积.
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