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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线yx4与抛物线y+bx+c交于坐标轴上两点AC,抛物线与x轴另一交点为点B

1)求抛物线解析式;

2)若动点D在直线AC下方的抛物线上;

作直线BD,交线段AC于点E,交y轴于点F,连接AD;求△ADE与△CEF面积差的最大值,及此时点D的坐标;

如图2,作DM⊥直线AC,垂足为点M,是否存在点D,使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1y

2m时,SADESCEF的最大值为,此时点D坐标为();

存在,点D的横坐标为点D横坐标为

【解析】

1)先求出C0,﹣4A30),然后代入y+bx+c,从而求出抛物线解析式;

2)①设Dm),则tanABD,然后用m的代数式表示ADECEF面积差,利用二次函数最值求出最大值;

②作∠ACO的平分线CPx轴于点P,过PPHAC于点H.求出tanPCH,然后分两种情况讨论:Ⅰ.当∠MCDACO=∠PCH时,Ⅱ.当∠MDCACO=∠PCH时.

1)对于yx4,令x0,则y=﹣4所以C0,﹣4);

y0,则x3

A30);

把点AC坐标代入抛物线解析式,

得:解得

∴抛物线解析式为y

2)设Dm),0m3

①连接OD,因为B(﹣10),Dm

tanABD

OF=﹣m3),

OA3OC4

SADESCEFS四边形AOFDSAOCAO|yD|+OF|xD|OAOC

[3(﹣m2+m+4)﹣m3m3×4]

=﹣m2+6m

=﹣m2+

所以当m时,SADESCEF的最大值为,此时点D坐标为

②存在,点D的横坐标为点D横坐标为

作∠ACO的平分线CPx轴于点P,过PPHAC于点H

CHCO4OPPH

OPPHx,则PA3x

OC4OA3

AC5AH1

RtPHA中,

PH2+AH2AP2

即/span>x2+12=(3x2

解得x

tanPCH

过点DDGx轴于点G,过点MMEx轴,与y轴交于点E,与DG交于点F

Mm),则MEmFGOECE

DM⊥直线AC

∴△CEM∽△MFD

Ⅰ.当∠MCDACO=∠PCH时,

tanMCDtanPCH

,即

MFCEDFME

EFEM+MFm+DGDF+FGm+)=﹣m+4

Dm4),

将点D坐标代入y

m4

解得m0(舍去)或m

Ⅱ.当∠MDCACO=∠PCH时,

tanMDCtanPCH

MF4mDF3m

EFEM+MFm+4m5m

DGDF+FG3m

D5m ),

将点D坐标代入y

解得x0(舍去)或x

综上,点D横坐标为

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【题目】某市精准扶贫工作已经进入攻坚阶段,贫困的张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了大樱桃.今年正式上市销售,在销售30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,在一段时间内采取降价措施,每天比前一天多卖出4千克.当售价不变时,销售量也不发生变化.已知种植销售大樱桃的成本为18元/千克,设第天的销售价元/千克,函数关系如下表:

表一

天数

1

2

3

……

……

20

售价(元/千克)

37.5

37

36.5

……

……

28

表二

天数

21

22

……

……

30

售价(元/千克)

28

28

……

……

28

1)求函数解析式;

2)求销售大樱桃第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?

3)销售大樱桃的30天中,当天利润不低于元的共有多少天?

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【题目】甲、乙两名同学分别进行6次射击训练,训练成绩(单位:环)如下表

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六交

9

8

6

7

8

10

8

7

9

7

8

8

对他们的训练成绩作如下分析,其中说法正确的是(  )

A. 他们训练成绩的平均数相同 B. 他们训练成绩的中位数不同

C. 他们训练成绩的众数不同 D. 他们训练成绩的方差不同

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【题目】如图,的直径,是上半圆的弦,过点的切线的延长线于点,过点作切线的垂线,垂足为,且与交于点,设的度数分别是.

用含的代数式表示,并直接写出的取值范围;

连接交于点,当点的中点时,求的值.

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【题目】如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过AABx轴,截取AB=OA(BA右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.

(1)求反比例函数y=的表达式;

(2)求点B的坐标;

(3)求OAP的面积.

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【题目】寒假中,小王向小李借一本数学培优资料,但相互找不到对方的家,电话中两人商量,走两家之间长度为2400米的一条路,相向而行.小李在小王出发5分钟后带上数学培优资料出发.在整个行走过程中,两人均保持各自的速度匀速行走.两人相距的路程y(单位:米)与小王出发的时间x(单位:分)之间的关系如图所示,则两人相遇时,小李走了_____米.

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【题目】如图,△ABC为等边三角形,点P从点A出发沿ABC路径匀速运动到点C,到达点C时停止运动,过点PPQAC于点Q. 若△APQ的面积为yAQ的长为x,则下列能反映yx之间的大致图象是 (  )

A.B.C.D.

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【题目】“构造图形解题”,它的应用十分广泛,特别是有些技巧性很强的题目,如果不能发现题目中所隐含的几何意义,而用通常的代数方法去思考,经常让我们手足无措,难以下手,这时,如果能转换思维,发现题目中隐含的几何条件,通过构造适合的几何图形,将会得到事半功倍的效果,下面介绍两则实例:

实例一:1876年,美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理:由四边形,化简得:

实例二:欧几里得的《几何原本》记载,关于的方程的图解法是:画,使,再在斜边上截取,则的长就是该方程的一个正根(如实例二图)

根据以上阅读材料回答下面的问题:

1)如图1,请利用图形中面积的等量关系,写出甲图要证明的数学公式是    ,乙图要证明的数学公式是    ,体现的数学思想是    

2)如图2,按照实例二的方式构造,连接,请用含字母的代数式表示的长,的表达式能和已学的什么知识相联系;

3)如图3,已知为直径,点为圆上一点,过点于点,连接,设,求证:

    

        

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